Programma 2015/16

Presentazione del corso di analisi, illustrazione delle applicazioni del calcolo alla computer science. Richiami sugli insiemi numerici. Campi ordinati, assioma di completezza. I numeri reali.
Cardinalita’ degli insiemi. Insiemi infiniti. Numerabilita’ dei numeri razionali, non numerabilita’ dei numeri reali.
Valore assoluto. Funzioni e loro grafico. Interpretazione grafica di ingettivita’ e surgettivita’. Funzioni composte, Funzioni invertibili. Funzioni monotone. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili. 

Successioni. Definizione di limite per successioni. Unicita’ del limite.
Definizione di successione divergente, e successione monotona. Regolarita’ delle successioni monotone. Disuguaglianza di Bernoulli. Operazioni con i limiti.
Teoremi di confronto per successioni. Aritmetica degli infiniti. Forme indeterminate. Il numero 'e‘ e sua interpretazione finanziaria.
Confronti e stime asintotiche. Criterio del rapporto. Esempi. Punti di accumulazione. Definizione del limiti sequenziale di funzioni. Unicita’ del limite. Esempi di dimostrazione di non esistenza di un limite.
Limiti per eccesso e per difetto. Limiti da destra e sinistra. Definizione di funzione continua in un punto. Intorni e definizione topologica del limite di funzioni.
Teoremi di confronto. Algebra dei limiti. Teorema di sostituzione nei limiti. Continuita’ delle funzioni elementari.
Limiti notevoli e gerarchie di infiniti e infinitesimi. Esempi di calcolo di limiti.
Teorema degli zeri per funzioni continue. Le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli. Teorema di Weierstrass. Regolarita’ del limite di funzioni monotone. Teorema sulla continuita’ dell’inversa. Esistenza della radice n-esima. Continuita’ di alcune funzioni elementari. 

Introduzione al calcolo differenziale.
Problema della migliore retta approssimante. Notazione degli o-piccolo e loro relativa algebra. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta. Derivate di alcune funzioni elementari.
Derivate destre e sinistre, punti angolosi e cuspidali. Derivata della funzione inversa e calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari. Teorema di Fermat. Problemi di massimo e minimo dalla geometria e dalla fisica.
Teorema di Lagrange. Media aritmetica e geometrica.Test di monotonia. Caratterizzazioni delle funzioni a derivata nulla.
Studio della derivabilita’ di una funzione. Teoremi di de l’Hopital(*) e relativi esercizi. Dimostrazione delle gerarchie di alcuni infiniti.
Problemi di approssimazione attraverso polinomi. Polinomi di MacLaurin e di Taylor di una funzione. Formula di Taylor con resto di Peano. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Esempi di calcolo di alcune quantita’ numeriche con errore fissato a priori.
Nozioni di convessita’ e concavita’. Caratterizzazione della convessita’ attraverso il rapporto incrementale. Regolarita’ delle funzioni convesse.
Caratterizzazione della convessita’ attraverso le rette tangenti e le derivate. Condizioni sufficienti per i punti estremali attraverso le derivate di ordine successivo. Convessita’ dell’inversa. Metodo di Newton per la ricerca di zeri. Applicazioni al caloclo dei polinomi di Taylor e allo studio di serie.

Problama del calcolo di un’area. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Interpretazioni geometrica, cinematica e meccanica. Problema della ricerca di primitiva e relazioni con l’integrabilita’ delle funzioni. Proprieta’ di linearita’ e positivita’ degli integrali.
Integrabilita’ delle funzioni continue(*) e monotone(*). Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann. Integrabilita’ di alcune classi di funzioni discontinue. Esempi di funzioni prive di primitiva. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale (ogni funzione continua ammette primitiva). Integrale improprio. Primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per sostituzione. Simmetrie e integrazione.
Integrazione delle funzioni razionali e funzioni contenenti il valore assoluto.
Integrazione per parti. Tecniche di integrazione di funzioni dipendenti da esponenziali, funzioni trigonometriche e funzioni irrazionali.

Definizione di serie e suo carattere. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometrica, telescopica, armonica, armonica generalizzata. Regolarita’ delle serie a termini positivi. Criteri di confronto pe serie. Criterio della radice e del rapporto per serie. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibniz. Serie dipendenti da parametro.
Integrali generalizzati. Criterio dell’integrale per serie(*) e applicazioni alla serie armonica generalizzata. Criteri di confronto e di confronto asintotico per integrali generalizzati. Criteri di integrabilita’ al finito e all’infinito. Assoluta convergenza.

Esempi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili. Problema di Cauchy. Applicazioni alla datazione e alla crescita di una popolazione. Problema della calibrazione.
Teorema di Peano(*) e Teorema di esistenza e unicita'(*) per il problema di Cauchy. Soluzioni massimali. Condizioni necessarie per la massimalita’ di una soluzione. Studio qualitativo di equazioni differenziali.
Teoremi di confronto e applicazioni. Diagrammi di flusso per ODE. Discretizzazione di una ODE: metodo di Eulero esplicito.
Esempi di studio qualitativo di equazioni differenziali. Modelli matematici della crescita di una popolazione (modelli di Malthus, di Verhulst, con prelievo). Modelli epidemiologici (modelli SI, SIS, SIR). Discussione dei risultati matematici.


(*) Senza dimostrazione.

Libri di testo suggeriti
Bramanti, Pagani, Salsa – Analisi Matematica 1 – Zanichelli
Bramanti – Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Esculapio
Marcellini Sbordone – Esercizi di Matematica vol1 Tomo 4 – Liguori
Marcellini Sbordone – Esercitazioni di Matematica Volume 2 parte prima – Liguori