Programma 2016/17

Presentazione del corso di analisi, illustrazione delle applicazioni del calcolo alla computer science. Richiami sugli insiemi numerici. Campi ordinati, assioma di completezza. I numeri reali.
Richiami sulla definizione di funzione: ingettiva, surgettiva, bigettiva, grafico di una funzione. Interpretazioni analitiche e geometriche. 
Cardinalita'. Insiemi infiniti e finiti.  Numerabilita’ dei numeri razionali, non numerabilita’ dei numeri reali. La cardinalita' dell'insieme delle parti e' strettamente maggiore di quella dell'insieme. I punti del piano e della retta hanno la stessa cardinalità. Ogni insieme infinito contiene una parte numerabile.

Valore assoluto. Funzioni composte, Funzioni invertibili. Funzioni monotone. Le funzioni strettamente monotone sono invertibili. 

Successioni. Successioni limitate. Nozione di "definitivamente". Definizione di limite per successioni. Unicita’ del limite. Ogni successione convergene e' limitata.
Definizione di successione divergente, regolare e successione monotona. Regolarita’ delle successioni monotone. Disuguaglianza di Bernoulli. Successione geometrica. Operazioni con i limiti.
Teoremi di confronto per successioni. Teoremi della permanenza del segno. Aritmetica degli infiniti. Forme indeterminate. Il numero 'e‘ e sua interpretazione finanziaria.
Confronti e stime asintotiche. Criterio del rapporto. Esempi. 

Funzioni limitate. Simmetrie. Esistenza della radice n-esima. Funzione radice. Potenze di numeri reali ad esponente razionale. Potenze ad esponente reale. Funzione potenza. Funzioni periodiche. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse. Risoluzioni di disuguaglianze.

Punti di accumulazione. Definizione del limiti sequenziale di funzioni. Unicita’ del limite. Esempi di dimostrazione di non esistenza di un limite.
Limiti per eccesso e per difetto. Limiti da destra e sinistra. Definizione di funzione continua in un punto. Intorni e definizione topologica del limite di funzioni.
Teoremi di confronto. Teoremi della permanenza del segno. Algebra dei limiti. Teorema di sostituzione nei limiti. Composizione di funzioni continue. Continuita’ delle funzioni elementari.
Forme indeterminate. Limiti notevoli e gerarchie di infiniti e infinitesimi. Esempi di calcolo di limiti.
Teorema degli zeri per funzioni continue. Le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli. Teorema di Weierstrass. Regolarita’ del limite di funzioni monotone. Teorema sulla continuita’ dell’inversa. Esistenza della radice n-esima. Continuita’ di alcune funzioni elementari. 
Operazioni sui grafici delle funzioni.

Introduzione al calcolo differenziale.
Problema della migliore retta approssimante. Definizione di derivata, retta tangente. Derivate di ordine superiore. Applicazioni all'economia ed alla cinematica. Notazione degli o-piccolo e loro relativa algebra. Le funzioni derivabili sono continue. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta. Derivate di alcune funzioni elementari.
Derivate destre e sinistre, punti angolosi e cuspidali. Derivata della funzione inversa e calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari. Punti di massimo e minimo (locali e assoluti), estremali e stazionari. Teorema di Fermat. Problemi di massimo e minimo dalla geometria e dalla fisica.
Teorema di Lagrange. Media aritmetica e geometrica. Test di monotonia. Caratterizzazioni delle funzioni a derivata nulla.
Studio della derivabilita’ di una funzione. Teoremi di de l’Hopital(*) e relativi esercizi. Dimostrazione delle gerarchie di alcuni infiniti e infinitesimi.
Problemi di approssimazione attraverso polinomi. Polinomi di MacLaurin e di Taylor di una funzione. Formula di Taylor con resto di Peano. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor delle funzioni elementari. Esempi di calcolo di alcune quantita’ numeriche con errore fissato a priori. Uso dei polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti.
Nozioni di convessita’ e concavita’. Caratterizzazione della convessita’ attraverso il rapporto incrementale. Regolarita’ delle funzioni convesse.
Caratterizzazione della convessita’ attraverso le rette tangenti e le derivate. Condizioni sufficienti per i punti estremali attraverso le derivate di ordine successivo. Convessita’ dell’inversa. Metodo di Newton per la ricerca di zeri. Applicazioni al calcolo dei polinomi di Taylor e allo studio di serie.

Problama del calcolo di un’area. Metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Interpretazioni geometrica, cinematica e meccanica. Proprieta’ di linearita’, positivita’ e additivita' degli integrali.
Integrabilita’ delle funzioni continue(*) e monotone(*). Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann. Integrabilita’ di alcune classi di funzioni discontinue. 
 Problema della ricerca di primitiva e relazioni con l’integrabilita’ delle funzioni.
Esempi di funzioni prive di primitiva. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale (ogni funzione continua ammette primitiva).  Primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per sostituzione. Simmetrie e integrazione. Integrazione per parti.
Integrazione delle funzioni razionali e funzioni contenenti il valore assoluto.
 Tecniche di integrazione di funzioni dipendenti da esponenziali, funzioni trigonometriche e funzioni irrazionali.

Definizione di serie e suo carattere. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometrica, telescopica, armonica, armonica generalizzata. Regolarita’ delle serie a termini positivi. Criteri di confronto pe serie. Criterio del confronto, confronto asintotico, della radice e del rapporto per serie. Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibniz. Serie dipendenti da parametro.
Integrali generalizzati. Criterio dell’integrale per serie e applicazioni alla serie armonica generalizzata. Criteri di confronto e di confronto asintotico per integrali generalizzati. Criteri di integrabilita’ al finito e all’infinito. Assoluta convergenza. Integrali dipendenti da parametro.




(*) Senza dimostrazione.

Libri di testo suggeriti
Bramanti, Pagani, Salsa – Analisi Matematica 1 – Zanichelli
Bramanti – Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Esculapio
Marcellini Sbordone – Esercizi di Matematica vol1 Tomo 4 – Liguori
Marcellini Sbordone – Esercitazioni di Matematica Volume 2 parte prima – Liguori