Di seguito sono ripartati gli argomenti svolti ordinati lezione per lezione.

Obiettivi del corso. Necessità di una teoria dell’integrazione differente da quella elementare. Introduzione alla teoria per funzioni di variabile complessa che tiene conto della struttura algebrica.

Richiami sui numeri complessi, aspetti algebrici e topologici. Successioni e serie in ambito complesso. Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa. Esempi ed esercizi. Richiami sulle successioni e serie di funzioni complesse. Definizione della funzione esponenziale complessa.

Definizione di sigma-algebra. Confronto con la topologia. Definizione di funzione misurabile. Confronto con la continuità. Sigma-algebre generate da famiglie di sottoinsiemi. Sigma-algebra di Borel. Criterio per la misurabilità di funzioni a valori reali.

Funzioni boreliane. Richiami su minimo limite e massimo limite. Misurabilita’ del limite di funzioni misurabili. Funzioni semplici. Approssimazioni di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Definizione di misura. Proprietà elementari delle misure.

Esempi di misura: Misura che conta i punti, Delta di Dirac. Definizione di integrale di Lebesgue per funzioni positive. Prime proprieta’ dell’integrale di Lebesgue. Teorema di Beppo Levi. Integrali e serie di funzioni positive.

Misure indotte da funzioni positive. Esempi e controesempi su misure indotte. Teorema di Radon-Nikodym (solo enunciato). Somma di infiniti numeri. Serie come integrali. Esercizi.

Lemma di Fatou. Esempi e controesempi. Integrazione di funzioni a valori complessi. Disuguaglianza triangolare. Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Esempi e controesempi. Ruolo degli insiemi di misura nulla e relazione di “quasi ovunque”. Misure complete e completamento di una misura. Generalizzazione del teorema di convergenza dominata.

Assoluta continuita’ delle misure. Assoluta continuita’ dell’integrale di Lebesgue. Localizazzazione delle funzioni di L^1. Convergenza quasi uniforme.

Teorema di Severini Egorov. Equintegrabilita’ di una famiglia di funzioni. Teorema di Vitali. Passaggio al quoziente di L^1 attraverso la relazione q.o. L’integrale come norma in L^1. Esempi e applicazioni.

Olomorfia. Raffronto tra la differenziabilità e la derivabilità in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Prime conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann.

Interpretazione geometrica della derivata complessa. Mappe conformi. Rappresentazione conforme delle funzioni complesse. Funzioni multivoche. Funzione argomento e sue selezioni. Proprieta’ della funzione esponenziale,

Logaritmo e sue selezioni, funzioni seno e coseno con le loro inverse, funzione potenza. Richiami: curve, cammini orientati, forme differenziali e loro integrazione.

Definizione di integrale lungo un cammino orientato e sue relazioni con le forme differenziali. Proprieta’ degli integrali. Relazioni tra integrali e primitiva. Esistenza di funzioni olomorfe prive di primitiva. Esercizi. Serie di potenze in campo complesso: Insieme di convergenza, raggio di convergenza, convergenze assoluta e uniforme.

Olomorfia delle serie di potenze. Analiticità e olomorfia. Unicità dei coefficienti per serie di potenze. Serie geometrica. Somma per parti, test Abel-Dirichlet e Teorema di Abel. Esercizi sulle serie di potenze. Analiticità degli integrali a la Cauchy. Teorema dell’indice di avvolgimento.

Esercizi. Teorema di Goursat. Teorema di esistenza di una primitiva di una funzione olomorfa in un convesso.

Teorema di rappresentazione di Cauchy in un convesso. Analiticita’ delle funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Circuiti omotopi. Invarianza per omotopia degli integrali di funzioni olomorfe. Esistenza di primitive su insiemi semplicemente connessi. Esercizi.

Formule di Cauchy per funzioni olomorfe su un aperto qualsiasi. Stime per le derivate di una funzione olomorfa. Teorema di Liouville e sue generalizzazioni. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema di Morera-Weierstrass per successioni e per serie. Esercizi sugli integrali di funzioni olomorfe.

Condizioni necessarie per la definizione della misura di Lebesgue. Definizione di misura per aperti e compatti. Numerabile subadditivita’ della misura di Lebesgue sugli aperti. Misura interna e misura esterna. Definizione di insieme limitato misurabile. Misurabilita’ degli aperti limitati e dei compatti. Confronti con la misura di Peano-Jordan.

Numerabile subadditivita’ della misura esterna. I limitati misurabili sono chiusi rispetto alle operazioni insiemistiche finite. Numerabile additività per limitati misurabili. Definizione generale di insiemi misurabili secondo Lebesgue e la loro relativa misura. Compatibilità con le altre definizioni.

Regolarità della misura di Lebesgue. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili. Completezza della misura di Lebesgue. Misure invarianti per traslazione e loro caratterizzazione. Esempi.

Misura di Lebesgue e applicazioni lineari: interpretazione geometrica del determinante di una applicazione. Esistenza di insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Cardinalta’ delle sigma algebre dei boreliani dei misurabili e delle parti di R^N. Costruzione dell’insieme di Cantor.

Lemma di Uryshon. Teorema di Lusin. Conseguenze del teorema di Lusin. I tre principi di Littlewood. Toerema di rappresentazione di RIesz per funzionali positivi (solo enunciato) e misura di Lebesgue.

Richiami sulle funzioni convesse. Disuguaglianza di Jensen. Disuguaglianza di Holder. Disuguaglianza di Minkowski.

Estremo superiore essenziale. Spazi L^p. Disuguaglianza di Holder e Minkowski in L^p. Completezza di L^\infty. Completezza di L^p. Densita’ delle funzioni semplici in L^p. Densita’ delle funzioni continue a supporto compatto in L^p(R^N).

Il completamento di C_c(R^N) nella norma infinito. Spazi l^p. Relazioni tra spazi L^p e le loro norme. Generalizzazione della disuguaglianza di Holder. Separabilita’ degli spazi L^p.

Prodotti scalari e loro proprieta’ (disuguaglianza di Schwarz, triangolare). Spazi di Hilbert: definizione ed esempi. Spazi ortogonali. Teorema di Pitagora. Identita’ del parallelogramma. Identita’ di polarizzazione. Esempi e controesempi.
Teorema degli zeri di funzioni olomorfe.

Teorema di minima norma. Teorema dei proiettori ortogonali. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Teorema di unicita’ del prolungamento olomorfo. Esempi. Caratterizzazione dell’analiticita’ delle funzioni di variabile reale attraverso le stime sulle derivate e come traccia reale di funzioni olomorfe.

Funzioni armoniche. Relazione tra funzioni armoniche e funzioni olomorfe. Teorema di Pizzetti. Caratterizzazione delle funzioni armoniche tramite il valore medio. Principi di massimo per funzioni armoniche.

Teoremi di Liouville per funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville per funzioni olomorfe. Principi di minimo e massimo modulo per funzioni olomorfe. Serie di Laurent. Sviluppabilita’ in serie di Laurent. Esercizi sul calcolo della serie di Laurent. Singolarita’ isolate e loro classificazione. Esempi. Caratterizzazione dell’esistenza delle primitive attraverso i residui.

Problema della miglior approssimazione. Sistemi ortonormali e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Caratterizzazione degli insiemi ortonormali massimali. Esistenza di sistemi ortonormali massimali. Identita’ di Bessel e di Parseval. Isomorfismo tra H e l^2(A). Separabilita’ dello spazio e numerabilita’ delle basi di Hilbert.

Lo spazio L^2(T). Il sistema ortonormale trigonometrico: Densita’ dei polinomi trigonometrici nelle funzioni continue periodiche (solo enunciato) e in L^2(T). Derivata debole attraverso i coefficienti di Fourier. Lo spazio H^1(T): definizione, completezza e una sua base di Hilbert.

Spazi H^k(T): definizioni, proprieta’ (completezza, basi, norme equivalenti). Spazi H^s(T), ad esponente frazionario: definizioni, proprieta’ (completezza, basi, norme equivalenti). Disuguaglianza di Wirtinger. Teorema di Immersione di H^s(T) in C^k(T).
Caratterizzazione delle singolarita’ eliminabili. Caratterizzazione dei poli. Caratterizzazione delle singolarita’ essenziali. Esempi. Teorema dei residui. Funzioni meromorfe. Teorema dell’indice logaritmico. Teorema di Rouche’. Continuità delle radici di un polinomio rispetto ai coefficienti. Teorema della mappa aperta, teorema di risolubilita’ locale.

Problema isoperimetrico nel piano. Applicazioni della teoria di spazi di Hilbert alle equazioni differenziali ordinarie: soluzioni deboli e loro regolarità. Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali: soluzione dell’equazione del calore su un anello. Integrali a valor principale e relazione con gli integrali impropri e di Lebesgue.

Esercizi sul calcolo della serie di Laurent e dei residui. Calcolo di integrali di funzioni razionali di trigonometriche attraverso i residui. Lemmi di Jordan. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali reali, trasformata di Fourier, calcolo della somma di una serie.

L’ultimo argomento scritto sopra è quello affrontato nell’ultima lezione. I prossimi argomenti saranno:

Teorema di Weierstrass di approssimazione delle funzioni continue.

Teorema di Picard (solo enunciato). Sommazione e integrazione secondo Abel. Integrazione rispetto ad un nucleo e relazioni con lgi integrali impropri e a valor principale.