Istituzioni di Analisi Superiore 1

Avvisi e comunicazioni anche sul canale Telegram: @UniBaAnalisiComplessa

Avvisi urgenti (e anche non urgenti) saranno postati sul canale telegram telegram.me/UniBaAnalisiComplessa

Alcune dispense ed esercizi del corso relative sia alla parte di analisi reale che di analisi complessa si possono trovare in questa pagina

I programmi svolti negli AA.AA. 2019/20 20/21 si possono trovare qui mentre quelli moooooolto dettagliati si trovano QUI per il 2020/21 e 21/22, QUI per il 2019/20 mentre in questa pagina si trovano gli argomenti svolti lezione per lezione nello scorso A.A. (il Programma 2016/17 di Istituzioni di Analisi Superiore 1 aggiornato e quello fino all’A.A. 2015/16 lo si può trovare qui ).

Informazioni per gli esami

Di seguito sono riportate le date degli appelli previsti per l’anno in corso. Le date dei relativi esami verranno stabilite cercando di soddisfare le richieste degli studenti interessati (e secondo le disponibilità della commissione) e solitamente si svolgono qualche giorno dopo. Chi volesse sostenere l’esame lo stesso giorno dell’appello deve inviarmi le sue preferenze indicandole nelle note della prenotazione altrimenti verrà calendarizzato secondo le richieste della maggioranza degli studenti. Le date dei prossimi appelli di Istituzioni di Analisi Superiore 1 per il 2023 sono le seguenti

  • 18 aprile 15:00 i cui esami si svolgeranno il 27 e 28 aprile
  • 5 maggio (appello straordinario per chi si laurea a Giugno) ore 9:00 i cui esami si svolgeranno lo stesso giorno
  • 1 giugno 9:30 i cui esami si svolgeranno il 1 e 13 giugno ore 9:00
  • 19 giugno 9:30 i cui esami si svolgeranno il 19, 29 e 30 giugno ore 9:00
  • 5 settembre 15:00 i cui esami si svolgeranno il 5 settembre ore 15:00
  • 19 settembre 15:00 21 settembre ore 13:00 i cui esami si svolgeranno il 21 settembre ore 11:00
  • 7 novembre 15:00

Si ricorda che da Gennaio 2014, gli esami si prenotano esclusivamente attraverso il sito Esse3. Si ricorda che le comunicazioni (date di esame, orari, aule, ecc.) avverranno mediante la mail registrata sul sito Esse3 (pertanto si consiglia di controllarla/aggiornarla).  Nel caso in cui la prenotazione attraverso il sito non fosse possibile allora ci si deve rivolgere alle segreterie studenti.

Gli studenti ERASMUS che intendono sostenere l’esame devono iscriversi all’esame tramite la piattaforma Esse3 e inviarmi una e-mail entro due giorni prima della data d’esame.

ERASMUS students are required to enrol to the examination by Esse3 system and to email me at least two days before the published dates.

Argomenti trattati a lezione durante l’AA 2022/23

Obiettivi del corso. Necessità di una teoria dell’integrazione differente da quella elementare. Introduzione alla teoria per funzioni di variabile complessa che tiene conto della struttura algebrica.

Richiami sui numeri complessi, aspetti algebrici e topologici. Successioni e serie in ambito complesso. Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa. Esempi ed esercizi. Richiami sulle successioni e serie di funzioni complesse. Definizione della funzione esponenziale complessa. Definizione di funzione olomorfe. Continuità delle funzioni olomorfe. Regole di derivazione delle funzioni olomorfe.

Definizione di sigma-algebra. Confronto con la topologia. Definizione di funzione misurabile. Confronto con la continuità. Sigma-algebre generate da famiglie di sottoinsiemi. Sigma-algebra di Borel. Criterio per la misurabilità di funzioni a valori reali.

Funzioni boreliane. Richiami su minimo limite e massimo limite. Misurabilita’ del limite di funzioni misurabili. Funzioni semplici. Approssimazioni di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Definizione di misura. Proprietà elementari delle misure. Esempi di misura: Misura che conta i punti, Delta di Dirac, misura di Lebesgue.

Definizione di integrale di Lebesgue per funzioni positive. Prime proprieta’ dell’integrale di Lebesgue. Teorema di Beppo Levi. Integrali e serie di funzioni positive.

Misure indotte da funzioni positive. Esempi e controesempi su misure indotte. Teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym (solo enunciato). Somma di infiniti numeri positivi. Serie come integrali. Esercizi. Teorema di Banach-Tarski (solo enunciato) e misure su R^3.

Lemma di Fatou. Esempi e controesempi. Integrazione di funzioni a valori complessi. Disuguaglianza triangolare. Teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Esempi e controesempi. Ruolo degli insiemi di misura nulla e relazione di “quasi ovunque”.

Misure complete e completamento di una misura. Generalizzazione del teorema di convergenza dominata. Passaggio al quoziente di L^1 attraverso la relazione q.o. L’integrale come norma in L^1.

Assoluta continuita’ delle misure. Assoluta continuita’ dell’integrale di Lebesgue. Localizazzazione delle funzioni di L^1. Convergenza quasi uniforme. Teorema di Severini-Egorov.

Equintegrabilita’ di una famiglia di funzioni. Teorema di Vitali. Convergenza puntuale e convergenza in norma.
Raffronto tra la differenziabilità e la derivabilità in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann.

Prime conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica della derivata complessa. Mappe conformi. Rappresentazione conforme delle funzioni complesse.

Funzioni multivoche. Funzione argomento e sue selezioni. Proprieta’ della funzione esponenziale, Logaritmo e sue selezioni, funzioni seno e coseno con le loro inverse, funzione potenza.

Richiami: curve, cammini orientati, forme differenziali e loro integrazione. Definizione di integrale lungo un cammino orientato e sue relazioni con le forme differenziali. Proprieta’ degli integrali. Relazioni tra integrali e primitiva. Esistenza di funzioni olomorfe prive di primitiva. Esercizi. Serie di potenze in campo complesso: Insieme di convergenza, raggio di convergenza.

Seri di potenze: convergenze assoluta e uniforme. Olomorfia delle serie di potenze. Analiticità e olomorfia. Unicità dei coefficienti per serie di potenze. Serie geometrica. Somma per parti, test Abel-Dirichlet e Teorema di Abel(solo enunciati). Esercizi sulle serie di potenze. Analiticità degli integrali a la Cauchy.

Esercizi. Teorema dell’indice di avvolgimento. Teorema di Goursat.

Teorema di esistenza di una primitiva di una funzione olomorfa in un convesso. Teorema di rappresentazione di Cauchy in un convesso. Analiticita’ delle funzioni olomorfe. Teorema di Morera. Circuiti omotopi. Invarianza per omotopia degli integrali di funzioni olomorfe. Esistenza di primitive su insiemi semplicemente connessi.

Esercizi. Formule di Cauchy per funzioni olomorfe su un aperto qualsiasi. Stime per le derivate di una funzione olomorfa. Teorema di Liouville e sue generalizzazioni. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema di Morera-Weierstrass per successioni e per serie. Esercizi sugli integrali di funzioni olomorfe.

Condizioni necessarie per la definizione della misura di Lebesgue. Definizione di misura per aperti e compatti. Misura interna e misura esterna. Definizione di insieme limitato misurabile. Definizione generale di insiemi misurabili secondo Lebesgue e la loro relativa misura. Regolarità della misura di Lebesgue. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili. Completezza della misura di Lebesgue.

Esistenza di insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Caratterizzazione delle misure invarianti per traslazione in R^N. Misura di Lebesgue e applicazioni lineari.

Interpretazione geometrica del determinante di una applicazione. Lemma di Uryshon. Teorema di Lusin. Conseguenze del teorema di Lusin. I tre principi di Littlewood.

Richiami sulle funzioni convesse. Disuguaglianza di Jensen. Disuguaglianza di Holder. Disuguaglianza di Minkowski. Misure esterne e approccio di Caratheodory alla costruzione di una misura.

Estremo superiore essenziale. Spazi L^p. Disuguaglianza di Holder e Minkowski in L^p. Completezza di L^\infty. Completezza di L^p. Densita’ delle funzioni semplici in L^p. Densita’ delle funzioni continue a supporto compatto in L^p(R^N).

Il completamento di C_c(R^N) nella norma infinito. Spazi l^p. Relazioni tra spazi L^p e le loro norme. Generalizzazione della disuguaglianza di Holder. Separabilita’ degli spazi L^p.

Teorema degli zeri di funzioni olomorfe. Teorema di unicita’ del prolungamento olomorfo. Esempi. Caratterizzazione dell’analiticita’ delle funzioni di variabile reale attraverso le stime sulle derivate e come traccia reale di funzioni olomorfe. Funzioni armoniche. Relazione tra funzioni armoniche e funzioni olomorfe.

Teorema di Pizzetti. Caratterizzazione delle funzioni armoniche tramite il valore medio. Principi di massimo per funzioni armoniche. Teoremi di Liouville per funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack.

Teoremi di Liouville per funzioni olomorfe. Principi di minimo e massimo modulo per funzioni olomorfe.
Prodotti scalari e loro proprieta’ (disuguaglianza di Schwarz, triangolare). Spazi di Hilbert: definizione ed esempi. Spazi ortogonali. Teorema di Pitagora. Identita’ del parallelogramma. Identita’ di polarizzazione.

Esempi e controesempi. Teorema di minima norma. Teorema dei proiettori ortogonali. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Serie di Laurent. Caratterizzazione dell’esistenza delle primitive attraverso i residui.

Problema della miglior approssimazione. Sistemi ortonormali e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Caratterizzazione degli insiemi ortonormali massimali. Esistenza di sistemi ortonormali massimali. Identita’ di Bessel e di Parseval. Isomorfismo tra H e l^2(A).

Separabilita’ dello spazio e numerabilita’ delle basi di Hilbert. Lo spazio L^2(T). Il sistema ortonormale trigonometrico: Densita’ dei polinomi trigonometrici nelle funzioni continue periodiche e in L^2(T). Teorema di Weierstrass di approssimazione delle funzioni continue.

Derivata debole attraverso i coefficienti di Fourier. Lo spazio H^1(T): definizione, completezza e una sua base di Hilbert. Spazi H^k(T): definizioni, proprieta’ (completezza, basi, norme equivalenti). Spazi H^s(T), ad esponente frazionario: definizioni, proprieta’ (completezza, basi, norme equivalenti). Disuguaglianza di Wirtinger. Teorema di Immersione di H^s(T) in C^k(T). Teorema di rappresentazione di RIesz per funzionali positivi (solo enunciato) e misura di Lebesgue.

Problema isoperimetrico nel piano. Applicazioni della teoria di spazi di Hilbert alle equazioni differenziali ordinarie: soluzioni deboli e loro regolarità. Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali: soluzione dell’equazione del calore su un anello.
Sviluppabilita’ in serie di Laurent.

Esempi di calcolo della serie di Laurent. Singolarita’ isolate e loro classificazione. Esempi. Caratterizzazione delle singolarita’ eliminabili. Caratterizzazione dei poli. Caratterizzazione delle singolarita’ essenziali. Esempi. Teorema di Picard (solo enunciato). Teorema dei residui. Funzioni meromorfe. Teorema dell’indice logaritmico.

Teorema di Rouche’. Continuità delle radici di un polinomio rispetto ai coefficienti. Teorema della mappa aperta, teorema di risolubilita’ locale. Integrali a valor principale e relazione con gli integrali impropri e di Lebesgue. Esercizi sul calcolo della serie di Laurent e dei residui. Calcolo di integrali di funzioni razionali di trigonometriche attraverso i residui. Lemmi di Jordan. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali reali, trasformata di Fourier, calcolo della somma di una serie, soluzioni di equazioni alle differenze.

L’ultimo argomento scritto sopra è quello affrontato nell’ultima lezione. I seguenti argomenti quest’anno non sono stati svolti.

Sommazione e integrazione secondo Abel. Integrazione rispetto ad un nucleo e relazioni con lgi integrali impropri e a valor principale. Cardinalta’ delle sigma algebre dei boreliani dei misurabili e delle parti di R^N. Costruzione dell’insieme di Cantor. Spazi H^k(T^n): definizioni, proprieta’ (completezza, basi, norme equivalenti) e teoremi di Immersione.

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